チェビシェフ多項式
チェビシェフ多項式は、ロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフにちなんで名付けられた直交多項式の一種であり、近似理論、数値解析、フィルタ設計などの分野で広く用いられる。第一種と第二種の2つの系列があり、それぞれ\cos(n\theta)や\sin((n+1)\theta)/\sin\thetaとして三角関数表現できる。チェビシェフ多項式は最小最大近似やチェビシェフフィルタの設計において重要な役割を果たす。
背景メモ
ロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフ（1821–1894）が考案した特殊な多項式の族。余弦関数のn倍角公式を多項式で表現したもので、変数を-1～1の範囲に制限すると「最も効率よく近似できる」という極小化特性（等リップル特性）を持つ。この性質のため、数値解析・信号処理・計算幾何で頻出する：例えば、チェビシェフ多項式を基底に使うと、同じ次数の通常の多項式より補間誤差を劇的に減らせる（ルンゲ現象の回避）。直交多項式の一種でもあり、重み1/√(1−x²)のもとで直交性を示す。FFTとの関係が深く、cosの計算だけで高速に評価できる実用上の利点も大きい。