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調和数を書き下す

n番目の調和数Hnは最初のn個の正の整数の逆数の和で、n!を分母とする分数として表せる。しかし約分すると分母はn!よりも小さくなることが多く、その簡約された形を求める方法について解説する。

背景メモ

- **調和数（harmonic number）**とは、1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n という級数の部分和。数学や情報理論（クーポンコレクター問題など）に頻出する基本量だが、閉じた式（簡単な形）がないことで知られる。 - **ジョン・D・クック（John D. Cook）**は応用数学者・ブロガー。数論、統計、プログラミングを横断する短い解説記事で知られ、専門家から趣味人まで幅広い読者を持つ。 - 本記事は「調和数を分数として書き下す（例：H₃ = 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6）」という一見単純な操作を扱う。分母を n! に揃えれば機械的に計算できるが、n が大きくなると n! は爆発的に巨大になる（例：H₁₀₀の分母は約9.3×10¹⁵7桁）ため、実用的な表記法としては破綻する。この「計算できるが現実的でない」ギャップが記事の主題。

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