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本記事では、追加のデータが常に不確実性を減らすとは限らないという問題をベイズの観点から考察する。一般に新しい情報は推定対象に関する不確実性を減少させ、事後分布はデータ収集とともにより集中する傾向にあるが、その詳細について検討する。

最近、e ≈ 2721/1001 という近似に遭遇した。この近似が注目に値するのは、分母の大きさに対する精度の高さである。単に小数展開を切り詰めた e ≈ 2718/1000 は有効数字4桁程度だが、2721/1001 は有効数字7桁、ほぼ8桁の精度を持つ。

ある幾何学の定理に付随する図に興味を持ち、その再現に挑戦した話。線分ABは直径で、線分CDは直径に垂直。外側の円を単位円と仮定し、C = (cos(1), sin(1))と推測して図を作成した。

本記事では、チェス盤の一角から対角線上の反対側の角へキングがバックトラックせずに移動する経路の数を数える「中央デラノイ数」と、それを一般化した「デラノイ数Dm,n」について解説。さらに、これらの数がDNA配列アラインメントの分野とも深く関わっていることを紹介する。

教授が「fは実変数xの関数で、実パラメータkを取る」と説明すると、学生は「パラメータって何ですか？」と質問する。教授が「変化できる定数だ」と答えると、学生は「変化できるなら変数じゃないんですか？」と混乱する。このようなよくあるやり取りをきっかけに、変数とパラメータの違いについて考察する。

黄金長方形に正方形を貼り付けると再び黄金長方形が得られるのと同様に、シルバー長方形も同様の自己相似性を持つ。この性質から導かれる黄金比φ（φ² = 1 + φ）に対し、シルバー比は白銀比（1+√2）に関連する数学的性質を持つ。本記事ではシルバー長方形の幾何学的・代数的特性を解説する。

すべての正のxについて、関数fの微分がfの逆関数に等しいという珍しい問題を紹介。微分方程式の標準的な解法では解けないこの特殊な問題に対し、興味深い解法が示される。

計算機ユーティリティ bc の標準数学ライブラリは最小限で、例えば正接関数はなく、正弦と余弦の比で計算するよう想定されている。ところが、POSIX版が非対応なのに対し、GNU版では正接関数が追加されている一方、bc はなぜかベッセル関数 J(x) を標準でサポートしている。この記事では、Grok（AI）の回答と公式ドキュメントの食い違いを題材に、どちらを信じるべきか考察する。

Peter Kruminsの記事で見つけたbashのワンライナー「echo {w,t,}h{e{n{,ce{,forth}},re{,in,fore,with{,al}}},ither,at}」を解説。このコマンドはブレース展開の入れ子構造を利用して、when, whence, whenceforth, where, wherein, wherefore, wherewith, wherewithal, whither, what, then, thence, thenceforth, there, therein, therefore, therewith, therewithal, thither, that, hen, hence, henceforth, here, herein, herefore, herewith, herewithal, hither, hat の30個の英単語を生成する。

分数a/bの小数展開における循環節の長さについて解説。前回の記事で調べた調和数の小数桁数に続き、本記事では循環節の周期を求める方法とそのコードを紹介。分数の分母と10が互いに素である場合の周期の計算など、基本的な数論に基づいた解説が行われている。

前回の記事では、調和数を既約分数で表記し、漸近解析に基づいて分子と分母の桁数を推定した。本稿はその続編で、底bを2としてプロットを作成。分子と分母の総ビット数を調べる。

n番目の調和数Hnは最初のn個の正の整数の逆数の和で、n!を分母とする分数として表せる。しかし約分すると分母はn!よりも小さくなることが多く、その簡約された形を求める方法について解説する。

ハートの定理とは、3つの円弧で形成された三角形（3辺がそれぞれ円弧である図形）において、内接円と3つの傍接円がすべて同一の新しい円または直線に接するという命題である。内接円は、その中に収まる最大の円として定義される。

本記事は、以前執筆した「Star Trekの補題」と「ピタゴラス三つ組」という2つの記事の関連性を明らかにする。ピタゴラス三角形では、内接円の半径と3つの傍接円の半径がすべて整数になるという興味深い性質について解説する。

本記事では、辺の長さが連続する整数となるすべてのピタゴラス triple（三つ組数）を求める。具体的には、a + 1 = b または b + 1 = c を満たす (a, b, c) を扱い、連続する二数の平方和が平方数となる場合を幾何学的に考察する。

数学者ジョン・D・クックが、かつての同僚アーサー・バラガーによる書籍で「スタートレック補題」という名称を発見した話。この不思議な名称の由来と、数学におけるユニークな命名の面白さを探る。

正規表現で最も厄介なのは、実装によって対応機能や構文が異なることです。筆者はPerlという最大限主義の環境で正規表現を学び、他のツールでは同じ機能が使えなかったり、微妙に異なる構文だったりして frustration を味わいました。本記事では、さまざまな環境で確実に動作する「ポータブルな」正規表現の書き方を解説します。

fを周期πの偶関数とする。このとき、ロバチェフスキーによる次の顕著な定理が成り立つ。この定理はフーリエ解析や信号処理において有用であり、特にf(x)=1という特殊な場合でも知っておく価値がある。

n-クイーン問題では、n×nのチェス盤にn個のクイーンを互いに攻撃しないように配置する。nが5以上の素数の場合、傾き2、3、4、…の直線上にクイーンを配置するだけで十分であることが示される。

チェスのパズルで、6×5のボード上にキング、クイーン、そして2つのルーク、2つのナイト、2つのビショップ、8つのポーンという全駒を配置する問題を、大規模言語モデルClaudeを用いてZ3/Pythonのコードで解く方法を紹介する。以前の投稿ではPrologを使った解法を扱っていたが、今回はZ3ソルバーを用いたアプローチを試みている。

ジョン・D・クック氏が、AIアシスタントClaudeを使ってLean 4で環論の定理を形式化した実験を紹介。セミノルムに関するpqr定理の証明に失敗した経験を踏まえ、今回は特定の環定理の形式的証明に成功。AIと定理証明支援系の連携による数学の形式化の可能性と課題を示している。

部分分数分解は、微積分の授業では積分計算の手段として教えられることが多いが、この手法にはそれ以外にも重要な応用がある。P(x)/Q(x)のような有理関数をより単純な項の和に分解することで、各項を閉形式で積分できるようになる。本稿では、部分分数分解の基本とその背景にある考え方を解説する。

定理を証明するのに、いくつかの例を確認するだけでは不十分なのが普通ですが、例外もあります。五角数がPn = (3n² − n)/2、三角数がTn = (n² + n)/2で定義される時、Pn = T2n−1 − Tn−1という関係が成り立つことの可視化を紹介します。

多項式の恒等式がいくつかのランダムな点で成り立てば、それが真である可能性は非常に高い。この原理をSchwartz-Zippelの補題として知られる形で精密化し、二項係数の恒等式などへの応用を紹介する。

関数 (1 + cos x)/2 はガウス密度 exp(−x²) のそこそこ良い近似を与えるが、べき乗を取ることで近似精度を大幅に改善できる。具体的には、((1 + cos x)/2)⁴ が良い下界を、((1 + cos x)/2)^3.5597 が良い上界を与える。本記事ではこの近似手法の詳細と他の近似方法について解説する。

このブログでは2008年の開設以来、メール購読機能を提供してきましたが、利用するサービスは幾度か変わってきました。ここ2年はSubstackを使って新着記事を配信していましたが、今回さらなる変更が行われます。

近似式 exp(−x²) ≈ (1 + cos(sin(x) + x))/2 をめぐる議論で、これを「テイラー級数の一致で説明できる」という意見がある。しかし、この近似の裏には関数方程式に基づくより深い仕組みが存在する。

指数関数のべき級数をコード化する際、項が許容誤差（例：10⁻¹²）以下になるまで加算する単純な方法には落とし穴がある。交代級数の場合、打ち切り誤差は最初に省略した項のオーダーではなく、ずっと大きな値になる可能性があり、安易な実装では精度が大きく損なわれることを示す。

先週書いた余弦近似exp(−z²) ≈ (1 + cos(sin(z) + z))/2についてさらに考察。実軸上では両式は近い値だが、虚軸上では右辺が左辺よりはるかに速く成長し、exp(exp(y))のように振る舞う。この違いが新たな洞察へとつながる。

滑らかで周期2πを持つ関数f(x)=cos(sin(x)+x)に着目。このような関数に対し、台形則は誤差が極めて小さくなる特性があり、効率的に積分を計算できることを解説している。