johndcook-com

かつて浮動小数点数は32ビットで格納されていたが、その後64ビットが標準となった。C言語ではfloatが32ビット、doubleが倍精度を指すが、Pythonでは単にfloatが倍精度を意味する。現在では4ビット浮動小数点FP4のようなより小さなフォーマットも登場している。

この記事では、4ビット浮動小数点フォーマットであるNF4とその高精度版について解説します。NF4とFP4はbitsandbytesの一般的な4ビットデータ型で、Hugging Faceからダウンロードする4ビット量子化されたLLM重みはNF4またはFP4フォーマットで保存されている可能性があります。

ニュートンの直径定理についての前回の記事に続き、この定理ではn次の多項式f(x, y) = 0の解で形成される曲線をプロットし、曲線とn点で交わる平行線を引き、それらの交点の中点の軌跡が直線になることを示す。

正規表現を使用する際の最も難しい部分は、正規表現そのものの作成ではなく、実装間の微妙な構文の違いや正規表現以外の環境的な要素です。埋め込み正規表現修飾子は、修飾子を正規表現内に配置することで、こうした環境的な複雑さの一つに対処します。

commユーティリティを使うとコマンドラインで集合演算が可能ですが、構文が覚えにくく、入力ファイルがソート済みである必要があるという制約があります。この記事では、これらの制限を克服する方法について説明します。

化学元素の周期表で知られるドミトリ・メンデレーエフは、補間に関する疑問から多項式とその導関数に関する定理を発見した。この数学的定理は、経験的研究に端を発し、ボアスの論文を通じて紹介されている。

前回の記事では、ドミトリ・メンデレーエフが発見し、アンドレイ・マルコフが一般化した不等式を紹介した。マルコフの定理によれば、実多項式P(x)が[-1,1]で|P(x)|≤1なら、導関数|P'(x)|≤n²となる。三角多項式の場合、バーンスタインはこの上限がn²からnに減少することを証明した。

リチャード・ファインマンが言ったように、深く掘り下げればほとんどすべてが興味深くなる。表から数値を探すことは確かに面白くないが、表の隙間をどれだけ正確に埋められるかを探求すると、より興味深いものになる。表形式の関数の値を補間する際の精度限界について考察する。

前回の投稿で名前を明かさずに言及したルベーグ定数について。次数nの補間誤差の上限は、hが補間点の間隔、δが表の値の誤差という形で表され、定数cは補間される関数fに依存し、補間点の配置にも影響される。

実数のみを扱う計算機や数学ライブラリでsin(3+4i)のような複素引数を評価する方法を解説。Pythonの標準mathライブラリでは複素数入力を受け付けないが、三角関数と双曲関数の関係を利用して実数関数だけで計算する手法を紹介。

大手ECサイトで特定商品に関する難解な質問に答えを得ようとしたが、AIショッピングアシスタントは関連性の低い一般情報を返すだけで、肝心の質問には答えられなかった。AIが膨大な情報の中から特定の「針」を見つけられない現状を示す体験談。

ピーター・フォーゲルが投稿したモールス符号のデコード用決定木の図は、その形状が特徴的で、従来の決定木とは異なるコンパクトな構造を持っています。各分岐が独自の水平レベルにある典型的な決定木とは異なり、興味深い幾何学的配置を示しています。

量子コンピューティングの実用化には懐疑的だが、もし準備が整わないうちに実現すれば世界の金融システムが崩壊する可能性がある。量子コンピューティングに備えるべきだという点では、近い将来の実用化を疑う者たちも含めて誰もが同意している。

五角数は、三角数を切り取ったものとして表現できます。n番目の五角数を示す図形は、(2n-1)番目の三角数の図形の基部に変形でき、これに(n-1)番目の三角数を追加すると完全な三角数になります。

Artemis IIミッションは、1968年のアポロ8号のように月周回飛行を行い、将来の月面着陸に備える。またアポロ13号のように、月周回軌道に入らずに月をスイングバイする軌道を意図的に選択している。

古い幾何学の本で、球面三角法のネイピアの記憶術の双曲版を見つけた。双曲版は当然存在するはずだが、これまで考えたことがなかったので驚いた。球面版はその実用性から有名だが、双曲版も同様に興味深い。

アポロ計画の月面着陸地点名にローマ神話由来の名前が使われた一方、月の軌道用語にはギリシャ語起源の「ペリセレネ」とラテン語起源の「ペリルーン」という2つの用語が存在する。これらはどちらも「月に最も近い点」を意味し、天文学における古典的影響の興味深い例を示している。

この記事では、テストの平均成績を更新する問題を、ベイズ統計とカルマンフィルタの非常に単純な特殊ケースとして考察します。n回のテスト後の平均値が分かっている状態で、新しいテスト結果をどのように平均に組み込むかを説明します。

HIPAA準拠を維持しながらAIを運用する最善の方法は、保護された健康情報（PHI）をChatGPTやClaudeなどのクラウドホストサービスに転送する代わりに、自社のハードウェアでローカルに実行することです。HIPAA準拠のクラウドオプションもありますが、制限が多く高価です。

ランダウアーの原理によれば、1ビットの情報を消去するのに必要な最小エネルギーはE ≥ log(2) kB Tで与えられ、これはビットの物理的保存方法に関わらず適用される。この原理に基づき、Toffoliゲートだけで古典的計算と可逆計算の両方を実現できることが示されている。

アポロ12号とアルテミス1号の軌道を比較し、アルテミス1号が無人であったため25日間という長期間にわたり月周回軌道を飛行し、興味深い三体・四体問題の軌道力学を示したことを説明する。

アンドリカの予想について：連続する素数の平方根の差は1未満であるという仮説。pnとpn+1が連続する素数の場合、√pn+1 − √pn < 1が成り立つと予想されており、2×10^19までの素数で経験的に確認されている。

六角形内のランダムな点cから始め、各ステップでランダムな辺を選び、その辺とcで三角形を形成し、cをその三角形の中心に更新するプロセスを繰り返すことで生成されるランダムフラクタルについて説明しています。

ギザの大ピラミッドの緯度（29.9792458°N）が光速（299,792,458 m/s）の数値と一致するという興味深い偶然について考察。この数値的な一致は偶然の産物だが、古代文明と現代科学の不思議なつながりを示す事例として話題になっている。

分数を小数で表したときの各桁の数字の分布について、数学的な観点から考察します。基本的な数学の分野であっても、まだ知られていない興味深い事実が存在することを示しています。

東方教会のイースターは今日、西方教会は先週祝われました。両者の日付が異なる理由は、春分後の最初の満月の後の最初の日曜日という計算方法の違いにあります。東方イースターは常に西方より遅いわけではなく、最大で5週間の差が生じることがあります。

復活祭の日付は、春分後の最初の満月の後の最初の日曜日と定められており、月の周期の近似が重要です。教会はユリウス暦の中で、ユダヤの太陰太陽暦に基づく出来事を記念する日付を選択する必要がありました。

Andrzej Odrzywolek氏によるarXiv掲載論文によると、eml関数と定数1のみから全ての初等関数を導出できる。同論文の補遺では、加算、減算、乗算、除算をeml関数からブートストラップする方法が示されており、数学ライブラリの最小構成を探求している。

ウィキペディアの現代三角形幾何学の記事に「Artzt放物線」という説明のない画像がある。Artzt放物線についての詳細は不明だが、これらの放物線は三角形の頂点のペアを通り、辺に平行な接線を持つようだ。この記事では、2点とその点での傾きが与えられた場合に放物線を求める方法を探る。

衛星までの距離dが分かれば、自分の位置を通る円を計算できます。これは、地球表面と衛星を中心とする半径dの球体という2つの球体の交差が円を形成するためです。GPSの基本原理は、複数の衛星からの距離測定により位置を特定するこの幾何学的原理に基づいています。