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午餐时的一场讨论引出这样一个事实：额外数据并不总能缩小置信区间。本文从贝叶斯视角探讨这一问题。通常而言，新信息会降低你对所估计对象的不确定性——随着更多数据被收集，后验分布会变得更加集中。但这一规律是否总是成立？文章对此进行了深入分析。

本文探讨了自然常数e的一个引人注目的近似值2721/1001。与简单截断小数展开得到的2718/1000（仅精确到四位有效数字）不同，这个分数在分母规模相近的情况下，精确度达到了七到八位有效数字。文章随后深入分析了这一近似背后的数学原理与计算方法。

作者偶然发现一个几何定理及相应示意图。该定理本身有趣，但作者认为复现示意图的过程更有意思。图中AB为直径，CD垂直于该直径。假设外圆为单位圆，作者猜测C点坐标为(cos(1), sin(1))，并在此基础上进行后续构建。

本文探讨了德兰诺伊数（Delannoy numbers）在DNA序列比对和棋盘国王路径两个看似不相关的领域中的奇妙联系。中心德兰诺伊数Dn计算了国王在棋盘中从一个角落移动到对角角落且不回溯的路径数量，而更一般的德兰诺伊数Dm,n则对应矩形棋盘的情况。这些数字在生物信息学中同样具有重要意义，用于衡量两个DNA序列之间的相似度。

教授说 f 是实变量 x 的函数，其中 k 是一个实参数。学生追问：参数是什么？教授答：它是一个可以变化的常数。学生不解：既然能变化，那不就成了变量吗？教授无奈：差不多，但又不是。这段对话反复上演，反映了教学中变量与参数概念的常见混淆。

本文探讨了银矩形的定义及其与黄金矩形的类比关系。黄金矩形的特性是在长边上接一个正方形后仍能得到一个黄金矩形，而银矩形则遵循类似但不同的比例关系。通过数学推导，文章揭示了银矩形比例φ满足φ² = 1 + φ这一方程，并进一步讨论了银矩形在几何与数学中的独特性质。

本文探讨了一个奇特的数学问题：寻找一个函数 f，使其导数等于其反函数（对所有正数 x 成立）。这是一个非常不寻常的微分方程，无法用常规微分方程课程中的技巧求解。文章给出了求解该问题的巧妙方法，展示了数学中意想不到的联系。

bc 计算器工具仅提供极简数学库：支持贝塞尔函数 J(x)，却不包含正切函数（需用户自行通过正弦与余弦的比值计算）。GNU 版 bc 虽增加了正切函数，但 POSIX 标准版本并未包含。这种不一致的设计选择引发了一个有趣的问题：当工具实际功能与文档描述或常规预期不符时，你该相信谁？

John D. Cook 分享了一个疯狂但巧妙的 bash 单行命令：echo {w,t,}h{e{n{,ce{,forth}},re{,in,fore,with{,al}}},ither,at}，该命令利用花括号展开（brace expansion）机制一次性生成 30 个英语单词。文章通过将这个表达式可视化为树形结构，直观解释了花括号展开的工作原理：花括号内的逗号分隔选项会在树的分叉处进行排列组合，从而生成所有可能的单词。这种方法展示了 bash 语法中鲜为人知但极具表现力的特性。

本文探讨分数 a/b 的小数循环节何时出现。继上篇关于调和数约分后小数位数的讨论，作者进一步分析了循环节长度的计算。文章提供了相关代码，可帮助读者预测和理解小数循环的规律。

前一篇文章讨论了将调和数写为既约分数，并基于渐近性估计分子和分母的位数。本文作为后续，通过绘图进一步分析。我们选择基数为2，并考察调和数既约分数分子与分母的总比特数随项数增长的变化趋势。

第n个调和数是前n个正整数倒数的和，即 Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n。由于所有分母的乘积为n!，因此可将调和数写为分数形式 Hn = p/q，其中 p = n! Hn 为整数，q = n!。本文探讨了调和数的这种分数表示方法及其相关性质。

哈特定理指出：如果由三个圆的三段弧构成一个三角形，那么该三角形的内切圆和三个旁切圆都与某个新圆（或直线）相切。这里的"三角形"指三条边均为圆弧的三边形，而内切圆则是能放入该图形内部的最大圆。

本文揭示了作者此前两篇文章——一篇关于《星际迷航》引理，另一篇关于毕达哥拉斯三元组——之间的内在联系。在撰写后一篇文章时，作者注意到维基百科中一个引人入胜的段落：在每个毕达哥拉斯直角三角形中，内切圆半径与旁切圆半径之间存在着奇妙的数学关系。

本文探讨了所有包含连续整数的勾股三元组，即满足 a + 1 = b 或 b + 1 = c 的勾股三元组 (a, b, c)。George Osborne 在一篇论文中研究了两连续数的平方和是否仍为平方数的问题，从几何角度看，这相当于寻找直角三角形的边长具有连续整数关系的情形。

本文作者在阅读一篇晚间的文章时，注意到一条指向Arthur Baragar著作的脚注，这引起了作者的特别兴趣——因为Baragar曾是他在德克萨斯大学（UT）一年的办公室同事。作者在Archive.org上找到这本书后，惊讶地在目录中发现了“星际迷航引理”这一章节。这个意想不到的标题引发了作者的好奇与思考。

正则表达式最令人沮丧的一点是不同实现之间存在差异：一个工具支持的功能，另一个工具可能完全不支持，或者语法略有不同。作者最初在Perl（一个最大化正则表达式环境）中学习正则，导致当其他工具不支持其习惯的功能时倍感挫折。本文旨在探讨那些真正跨平台兼容的正则表达式用法。

设 f 是周期为 π 的偶函数，则罗巴切夫斯基提出的如下定理成立。该定理在傅里叶分析和信号处理中十分有用，即便在 f(x) = 1 这一特例下也具有实用价值。相关文章：Sinc 与 Jinc 积分、Sinc 与 Jinc 求和。

n皇后问题要求在一个n×n棋盘上放置n个皇后，使其互不攻击，即每行、每列及每条对角线上最多只有一个皇后。当n为大于等于5的素数时，只需将皇后放置在斜率为2、3、4……的直线上即可求解。

本文延续了作者关于使用大语言模型生成代码解决国际象棋问题的系列探索。这次作者使用Claude生成Z3/Python代码，解决一个经典谜题：如何在6×5的棋盘上放置所有棋子——包括王、后、两只车、两只象和两只马——使得它们互不攻击。文章展示了LLM在生成约束求解代码方面的能力。

作者分享了他使用Claude生成Lean 4代码以证明数学定理的实验。在成功验证了一些计算并经历了用Claude形式化半范数pqr定理的失败尝试后，这次他要求Claude正式证明一个环论定理。文章探讨了大语言模型在形式化验证中的能力与局限。

几乎所有接触过部分分式分解的人，最初都是通过积分计算来认识它的。如果P(x)和Q(x)是多项式，那么可以将它们的比值P(x)/Q(x)分解为若干个可分别求闭形式积分的项之和。与微积分课程中的大多数主题一样，部分分式在教学中往往草草带过……

虽然通常情况下无法仅凭几个例子证明一个定理，但有时却可以。以五边形数和截断三角形数为例：若五边形数定义为 Pn = (3n² − n)/2，三角形数定义为 Tn = (n² + n)/2，则存在关系 Pn = T2n−1 − Tn−1。文章通过可视化展示了这一数学关系。

如果多项式恒等式在几个随机点上成立，那么它很可能是真的。本文通过施瓦茨-齐普尔引理精确阐述了这一思想，并探讨了其在验证组合恒等式和多项式相等性中的实际应用。这种概率方法为检查复杂代数关系提供了一种高效途径。

函数 (1 + cos(x))/2 能较好地近似高斯密度函数 exp(−x²)，通过提高幂次可进一步改善精度。其中 ((1 + cos(x))/2)⁴ 提供良好的下界，而 ((1 + cos(x))/2)^3.5597 则给出紧致的上界。文章探讨了这种近似方法及其他相关思路。

自2008年博客创办以来，读者一直通过邮件订阅更新，但订阅方式已多次变更。过去两年作者使用Substack发送新博文通知，如今该服务停止运营，作者正寻找替代方案。文章回顾了多年来各种邮件订阅服务的更迭历程，并邀请读者关注后续的订阅方式调整。

X平台上关于近似公式 exp(−x²) ≈ (1 + cos(sin(x) + x))/2 的讨论仍在继续。有人认为这不过是泰勒级数的结果：等式两侧级数首次出现差异是在 x⁶ 项，因此产生了良好的近似效果。但作者指出，这一解释并不充分，背后还有更深的数学原理。

本文探讨了在编程实现指数函数的幂级数展开时常见的一个陷阱。作者指出，如果简单地以某项小于容差（如10⁻¹²）作为截断条件来求和交错级数，可能会因为忽略后续项的累积效应而导致结果不准确。文章旨在提醒开发者注意数值计算中的细节问题，避免因实现方式过于"天真"而产生误差。

作者继续探讨高斯函数 exp(−z²) 的余弦近似 (1 + cos(sin(z) + z))/2。这两个表达式在实轴上近似相等，但在虚轴上差异显著——当 z = iy 时，右侧函数以 exp(exp(y)) 的速度增长，远快于左侧，由此引出了关于函数增长行为的深入思考。

本文从不同角度审视了函数 f(x) = cos(sin(x) + x)。这是一个周期为 2π 的光滑函数，因此使用梯形法则求其积分将非常高效。文章探讨了光滑周期函数的积分特性及其数值计算方法。